Gỉa thiết tương đương với \(xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3\)

Đặt \(a=x;b=y;c=\frac{1}{z}\)khi đó bài toán quy về 

\(ab^2+a^2c+c^2b=3\)Tìm GTLN của \(P=\frac{1}{a^4+b^4+c^4}\)

Sử dụng BĐT AM-GM ta có :

\(a^4+b^4+b^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4b^4b^4}=4ab^2\)

Bằng cách chứng minh tương tự ta được :

\(b^4+c^4+c^4+1\ge4bc^2\); \(c^4+a^4+a^4+1\ge4ca^2\)

Cộng theo vế các bđt cùng chiều ta được :

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=4.3=12\)

\(< =>a^4+b^4+c^4+1\ge\frac{12}{3}=4\)

\(< =>a^4+b^4+c^4\ge4-1=3\)

Vậy \(P\le\frac{1}{3}\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1< =>x=y=z=1\)

Ta có (x + y +z)² ≥ 0 suy ra x² + y² + z² + 2 ( xy + yz + zx) ≥ 0 

1 + 2 ( xy + yz + zx) ≥ 0 

xy + yz + zx ≥ - 1 / 2 

Thế thì min (xy + yz + zx) = - 1 / 2 khi x+ y + z = 0 và x² + y² + z² = 1 ( ♥ ) 

Lại có I xz I = I x I I z I ≤ 1 / 2 ( x² + z² ) = 1 / 2 ( 1 - y² ) ≤ 1 / 2 

Thế thì min ( xz ) = - 1 / 2 khi x = - z và x² + y² + z² = 1 và y = 0 ( ♣ ) 

Từ ( ♥ ) và ( ♣ ) cho ta 

min ( xy + yz + 2.zx ) = - 1 / 2 - 1 / 2 = - 1 

khi x = √2 / 2 ; y = 0 ; z = - √2 / 2 chẳng hạn 

P/C bạn dựa vào đk x + y + z = 0 ; x² + y² + z² = 1;y = 0 ; x = - z

x=y=z=1